Katu math

数学など

自作問題3 like ABC conjecture

自作問題整数論数オリ

問題の下に元ツイート・補足(若干のネタバレ)・解答-解説(pdf)・類題・余談が載っています。気を付けてください。

問題

二つの問題のうちどちらか一つは恐らく未解決です

nを3以上の正の整数とする。正の整数の組 $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ が美しいとは、これらのうちどの2つも異なりかつ互いに素で、しかも $a_1+a_2+ \ldots +a_{n-1} = a_n$ を満たすことをいう。

(1)　任意の3以上の整数nに対し、美しい正の整数の組であって

$a_n$ > $\mathrm {rad} (a_1 a_2 \cdots a_n)$

をみたすものが無限に存在するか。

(2)　任意の3以上の整数nに対し、正の実数kであって任意の美しい正の整数に対して

$a_n$ < $\mathrm {rad} (a_1 a_2 \cdots a_n)^k$

をみたすものが存在するか。

ただし、正の整数cに対し、 $\mathrm{rad} (c)$ でcの相異なる素因数の積を表す。

難易度：一方 3- (IMO3番級)　他方 5+ (未解決枠)

元ツイート

2020/4/1

どちらかは自作問題(やや簡単)でもう片方はABC予想の一般化(未解決問題)です#自作問題 pic.twitter.com/QtbiJ3qsoM
— Katu (@Katu2ou) 2020年4月1日

補足

自作問題は(1)です。(2)はいわゆる強いABC予想を弱めた命題です。

強いABC予想

任意の美しい整数の組 $(a_1 , a_2 , a_3 )$ は

$a_3$ < $\mathrm {rad} (a_1 a_2 a_3) ^2$

を満たす

　現時点で、この予想はおろか、指数部分を正の実数 $k$ に拡張した場合の主張も示されていません。(つまり、任意の美しい組に対して $a_3$ が $\mathrm {rad} (a_1 a_2 a_3)$ の指数乗で抑えられることが示されていません。) (2)はその主張について項数を増やすところまで緩めたものです。

　ちなみに、「強い」ABC予想と呼称されることが多いですが、(強くない)ABC予想とは別主張のの命題で包含関係は成立しないと思われます。(少なくとも自明な言い換えでは包含していることがいえません)

解答-解説

drive.google.com

類題

1. $n! + 1 = m^2$ は自然数の解を無限に持つか。

ABC予想の主張を使うと解けます

2. $n\geq 6$ のとき、 $x^n + y^n = z^n$ をみたす自然数の組 $(x,y,z)$ は存在しないことを示せ。

強いABC予想の主張を使うと解けます

3. 任意の $6$ 以上の偶数は $2$ つの奇素数の和で表せるか。

何を使っても解けません

余談

あまり見かけない形の問題になりました。かなり構築寄りですが、天才的な発想は必要ないと思います。解答のような抽象的な構築は可能なのですが、具体的な値での構築方法は見つけていません。ただし $n=3$ の場合は $(1, 3^{2n-1}, 3^{2n} )$ と簡単に構築できます。 $n \geq 4$ の場合は修羅の道だと思います。

ちなみに作成日はエイプリルフールだったので未解決問題っぽい雰囲気の問題を上げようと思ってABC予想っぽい問題を作ったのですが、その2日後にABC予想の査読が完了したというニュースが上がって話題になっていたので震え上がりました。